Question

15．如圖①，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于點M，連接CM．
（1）求證：BE=AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度數；
（3）當α=90°時，取AD，BE的中點分別為點P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖②，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；
（2）根據△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根據∠AFC=∠BFH，即可得到∠AMB=∠ACB=α；
（3）先根據SAS判定△ACP≌△BCQ，再根據全等三角形的性質，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，最后根據∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°，進而得到△PCQ為等腰直角三角形．

解答 解：（1）如圖1，∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB\\;}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；

（2）如圖1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-α，
∴∠BAM+∠ABM=180°-α，
∴△ABM中，∠AMB=180°-（180°-α）=α；

（3）△CPQ為等腰直角三角形．
證明：如圖2，由（1）可得，BE=AD，
∵AD，BE的中點分別為點P、Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠CAP=∠CBQ}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠BCQ+∠PCB=90°，
∴∠PCQ=90°，
∴△CPQ為等腰直角三角形．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定以及三角形內角和定理的綜合應用．等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．解題時注意掌握全等三角形的對應邊相等，對應角相等的運用．