Question

如圖：矩形ABCD的頂點(diǎn)B、C在x軸的正半軸上，A、D在拋物線y=-

2

3

x²+

8

3

x上，矩形的頂點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，且矩形在拋物線與x軸圍成的區(qū)域里．
（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），試求矩形的周長(zhǎng)p關(guān)于變量x的函數(shù)的解析式，并寫出x的取值范圍；
（2）是否存在這樣的矩形ABCD，它的周長(zhǎng)p=9？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）令-

2

3

x²+

8

3

x=0，
得：x₁=0，x₂=4，
則拋物線與坐標(biāo)軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為O（0，0）和E（4，0），
設(shè)OB=x（0＜x＜2），由拋物線的對(duì)稱性可知EC=x，則BC=4-2x，
P=2（4-2x+y）=2（4-2x-

2

3

x²+

8

3

x）=-

4

3

x²+

4

3

x+8（0＜x＜2）．

（2）不存在．
先假設(shè)存在周長(zhǎng)為9的矩形ABCD，則-

4

3

x²+

4

3

x+8=9，
化簡(jiǎn)得：4x²-4x+3=0，
則有△=16-48＜0，
∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即不存在這樣的矩形．