Question

已知：在平面直角坐標系中，拋物線y=-

1

4

x2+bx+3交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且對稱軸為x=-2，點P（0，t）是y軸上的一個動點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標．
（2）如圖1，當0≤t≤4時，設△PAD的面積為S，求出S與t之間的函數關系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此時t的值．
（3）如圖2，當點P運動到使∠PDA=90°時，Rt△ADP與Rt△AOC是否相似？若相似，求出點P的坐標；若不相似，說明理由．

Answer 1

（1）對稱軸為x=-

b

2×(- 1 4 )

=-2，
解得b=-1，
所以，拋物線的解析式為y=-

1

4

x²-x+3，
∵y=-

1

4

x²-x+3=-

1

4

（x+2）²+4，
∴頂點D的坐標為（-2，4）；

（2）令y=0，則-

1

4

x²-x+3=0，
整理得，x²+4x-12=0，
解得x₁=-6，x₂=2，
∴點A（-6，0），B（2，0），
如圖1，過點D作DE⊥y軸于E，
∵0≤t≤4，
∴△PAD的面積為S=S_梯形AOED-S_△AOP-S_△PDE，
=

1

2

×（2+6）×4-

1

2

×6t-

1

2

×2×（4-t），
=-2t+12，
∵k=-2＜0，
∴S隨t的增大而減小，
∴t=4時，S有最小值，最小值為-2×4+12=4；

（3）如圖2，過點D作DF⊥x軸于F，
∵A（-6，0），D（-2，4），
∴AF=-2-（-6）=4，
∴AF=DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠ADF=45°，
由二次函數對稱性，∠BDF=∠ADF=45°，
∴∠PDA=90°時點P為BD與y軸的交點，
∵OF=OB=2，
∴PO為△BDF的中位線，
∴OP=

1

2

DF=2，
∴點P的坐標為（0，2），
由勾股定理得，DP=

(-2-0)2+(4-2)2

=2

2

，
AD=

2

AF=4

2

，
∴

AD

DP

=

4 2

2 2

=2，
令x=0，則y=3，
∴點C的坐標為（0，3），OC=3，
∴

OA

OC

=

6

3

=2，
∴

AD

DP

=

OA

OC

，
又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，
∴Rt△ADP∽Rt△AOC．