Question

【題目】平面直角坐標系中，C（0，4），A為x軸上一動點，連接AC，將AC繞A點順時針旋轉90°得到AB，當點A在x軸上運動時，OB+BC的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

過點B作BE⊥x軸，由旋轉可知AC=AB，易證△ACO≌△BAE，則AE=OC=4，OA=BE，作點O關于BE的對稱點D，則BE垂直平分OD，得到OB=BD，當點C、B、D三點共線時OB+BC=BD+BC=CD，然后設點A坐標為（x，0），則OA=x（），則點E為（x+4，0），則點D為（2x+8，0），得到OD=2x+8，利用勾股定理求出CD，結合二次函數的性質，即可得到CD的最小值，即可解決問題.

解：過點B作BE⊥x軸，

∴∠AEB=∠COA=90°，

∵將AC繞A點順時針旋轉90°得到AB，

∴∠CAB=90°，AC=AB，

∴∠OCA+∠CAO=∠CAO+∠BAE=90°，

∴∠OCA=∠BAE，

∴△ACO≌△BAE，

∴CO=AE=4，OA=BE，

如圖，作點O關于BE的對稱點D，則BE垂直平分OD，

∴OB=DB，

∴當點C、B、D三點共線時OB+BC=BD+BC=CD，OB+BC的最小值為CD；

設點A坐標為（x，0），則OA=x（），

∴點E為（x+4，0），則點D為（2x+8，0），

∴OD=2x+8，

在直角三角形OCD中，由勾股定理，得：，

∴，

∵，

∴當時，CD有最小值，

CD的最小值為：，

∴OB+BC的最小值為：.