Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從B向A方向運動，Q到達A點后，P點也停止運動，設點P，Q運動的時間為t秒．

（1）求P點停止運動時，BP的長；

（2）P，Q兩點在運動過程中，點E是Q點關于直線AC的對稱點，是否存在時間t，使四邊形PQCE為菱形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

（3）P，Q兩點在運動過程中，求使△APQ與△ABC相似的時間t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，t＝s時，四邊形PQCE是菱形；（3）t的值為s或s時△APQ與△ABC相似

【解析】

（1）求出點Q的從B到A的運動時間，再求出AP的長，利用勾股定理即可解決問題．

（2）如圖1中，當四邊形PQCE是菱形時，連接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．根據DQ＝CK，構建方程即可解決問題．

（3）分兩種情形：如圖3﹣1中，當∠APQ＝90°時，如圖3﹣2中，當∠AQP＝90°時，分別構建方程即可解決問題．

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝10，

點Q運動到點A時，t＝＝5，

∴AP＝5，PC＝1，

在Rt△PBC中，PB＝＝．

（2）如圖1中，當四邊形PQCE是菱形時，連接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．

∵四邊形PQCE是菱形，

∴PC⊥EQ，PK＝KC，

∵∠QKC＝∠QDC＝∠DCK＝90°，

∴四邊形QDCK是矩形，

∴DQ＝CK，

∴2t＝（6﹣t），

解得t＝．

∴t＝s時，四邊形PQCE是菱形．

（3）如圖3﹣1中，當∠APQ＝90°時，

∵∠APQ＝∠C＝90°，

∴PQ∥BC，

∴＝，

∴＝，

∴t＝．

如圖3﹣2中，當∠AQP＝90°時，

∵△AQP∽△ACB，

∴＝，

∴＝，

∴t＝，

綜上所述，t的值為s或s時△APQ與△ABC相似．