Question

【題目】某商店決定購進A、B兩種紀念品．若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需要95元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，需要80元．

（1）求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元？

（2）若該商店決定購進這兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉，用于購買這100件紀念品的資金不少于750元，但不超過764元，那么該商店共有幾種進貨方案？

（3）已知商家出售一件A種紀念品可獲利a元，出售一件B種紀念品可獲利（5﹣a）元，試問在（2）的條件下，商家采用哪種方案可獲利最多？（商家出售的紀念品均不低于成本價）

Answer 1

【答案】（1）A、B兩種紀念品的價格分別為10元和5元；（2）該商店共有3種進貨方案（3）若時，購進52件A紀念品，48件B紀念品獲利最大；若時，購進50件A紀念品，50件B紀念品獲利最大；若時，此時三種進貨方案獲利相同．

【解析】

（1）設A種紀念品每件x元，B種紀念品每件y元，根據購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需要95元和購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，需要80元，列出方程組，再進行求解即可；

（2）設商店最多可購進A紀念品m件，則購進B紀念品（100-m）件，根據購買這100件紀念品的資金不少于750元，但不超過764元，列出不等式組，再進行求解即可；

（3）將總利潤y表示成所進A紀念品件數x的函數，分類討論，根據函數的單調性判斷那種方案利潤最大．

解：（1）設A、B兩種紀念品的價格分別為x元和y元，則

，解得．

答：A、B兩種紀念品的價格分別為10元和5元．

（2）設購買A種紀念品m件，則購買B種紀念品（100- m）件，則
750≤10m+5(100-m)≤764，
解得50≤m≤52.8，
∵m為正整數，
∴m=50，51，52，
即有三種方案．
第一種方案：購A種紀念品50件，B種紀念品50件；
第二種方案：購A種紀念品51件，B種紀念品49件；
第三種方案：購A種紀念品52件，B種紀念品48件；

（3）設商家購進x件A紀念品，所獲利潤為y，
則y=ax+（100-x）（5-a）=（2a-5）x+500-100a．

∵商家出售的紀念品均不低于成本，

，即0≤a≤5．

①若2a-5＞0即時，y=（2a-5）x+500-100a，y隨x增大而增大．

此時購進52件A紀念品，48件B紀念品獲利最大．

②若2a-5＜0，即時，y=（2a-5）x+500-100a，y隨x增大而減小．

此時購進50件A紀念品，50件B紀念品獲利最大．

③若2a-5=0，即時，則y=250，為常數函數，
此時三種進貨方案獲利相同．