Question

16．如圖，已知一個三角形紙片ABC，BC=10，BC邊上的高為8，M為AB邊上一動點（點M與點A、B不重合），過點M作MN∥BC，交AC于點，NQ⊥BC，MP⊥BC，垂足分別為Q、P，設MN=x，矩形MNQP的面積為y．
（1）請用x表示MP；
（2）填空：當x=$\frac{40}{9}$時，四邊形MNQP是正方形；
（3）求y關于x的函數關系式，并求函數y的最大值．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，交MN于E，由平行線得出△AMN∽△ABC，由平行線的性質得出$\frac{MN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即可得出結果；
（2）當MN=MP，得出x=-$\frac{4}{5}$x+8，解方程即可；
（3）由矩形的面積得出y=x（-$\frac{4}{5}$x+8）=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20，由-$\frac{4}{5}$＜0，得出當x=5時，y有最大值=20即可．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，交MN于E，
∵四邊形MNQP是矩形，
∴MP=ED，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{x}{10}=\frac{8-MP}{8}$，
解得：MP=-$\frac{4}{5}$x+8；
（2）當MN=MP，四邊形MNQP是正方形；
即x=-$\frac{4}{5}$x+8，
解得：x=$\frac{40}{9}$，
即當x=$\frac{40}{9}$時，四邊形MNQP是正方形；
故答案為：$\frac{40}{9}$；
（3）根據題意得：y=x（-$\frac{4}{5}$x+8）=-$\frac{4}{5}$x²+8x=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20，
∵-$\frac{4}{5}$＜0，
∴當x=5時，y有最大值=20．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的判定、二次函數的最值；熟練掌握相似三角形的判定與性質，由相似三角形的性質得出MP是解決問題的關鍵．