Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，邊長為4，∠MDN＝90°，將∠MDN繞點D旋轉，其中DM邊分別與射線BA、直線AC交于E、Q兩點，DN邊與射線BC交于點F；連接EF，且EF與直線AC交于點P．

（1）如圖1，點E在線段AB上時，①求證：AE＝CF；②求證：DP垂直平分EF；

（2）當AE＝1時，求PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）①只要證明△ADE≌△CDE（ASA）即可解決問題；

②利用相似三角形的性質證明∠PDQ＝45°即可解決問題；

（2）作QH⊥AD于H，QE⊥AB于G．由△AQD∽△EQP，可知AQPQ＝DQEQ，想辦法求出AQ，EQ，DQ即可解決問題；

（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，

∴∠ADC＝∠MDN＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE≌△CDE（ASA），

∴AE＝CF．

②∵△ADE≌△CDE（ASA），

∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，

∴∠DEF＝45°，

∵∠DAC＝45°，

∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，

∴△AQD∽△EQP，

∴ ，

∴，

∵∠AQE＝∠PQD，

∴△AQE∽△DQP，

∴∠DDP＝∠QAE＝45°，

∴∠DPE＝90°，

∴DP⊥EF，

∵DE＝DF，

∴PE＝PF，

∴DP垂直平分線段EF．

（2）解：作QH⊥AD于H，QE⊥AB于G．

在Rt△ADE中，DE＝，

∵∠QAH＝∠QAG＝45°，

∴HO＝QE＝AH＝EQ，設QH＝x，

∵×4×x+×1×x＝×1×4，

∵x＝，

∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，

∵△AQD∽△EQP，

∴AQPQ＝DQEQ，

∴PQ＝＝ ．