Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線BD⊥AD，E為CD上一點，連接AE交BD于點F，G為AF的中點，連接DG．

（1）如圖1，若DG=DF=1，BF=3，求CD的長；

（2）如圖2，連接BE，且BE=AD，∠AEB=90°，M、N分別為DG，BD上的點，且DM=BN，H為AB的中點，連接HM、HN，求證：∠MHN=∠AFB．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由垂直的定義得到∠ADB=90°，根據直角三角形的性質得到DG=GF，根據勾股定理即可得到結論；

（2）連接DH，HE，根據已知條件得到A，D，E，B四點共圓，根據圓周角定理得到∠DHE=2∠DAE，求得∠DGF=2∠DAE，推出∠GDH=∠HEG，根據等腰三角形的性質得到∠EAB=∠ABD，求得∠HBN=∠HDM，根據全等三角形的性質得到∠BHN=∠DHM，得到∠BHD=∠MHN，等量代換即可得到結論．

（1）∵BD⊥AD，

∴∠ADB=90°，

∵G為AF的中點，

∴DG=GF，

∵DG=DF=1，

∴GF=DG=DF=1，

∴AF=2，

∵AD==，

∵BF=3，

∴BD=4，

∴AB==，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD=AB=；

（2）連接DH，HE，

∵AD⊥BD，AE⊥BE，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∵H為AB的中點，

∴DH=BH=EH=AH=AB，

∵∠ADB=∠AEB=90°，

∴A，D，E，B四點共圓，

∴∠DHE=2∠DAE，

∵AG=DG，

∴∠DGF=2∠DAE，

∴∠DGF=∠DHE，

∴∠GDH=∠HEG，

∵AD=BE，

∴∠EAB=∠ABD，

∵∠EAB=∠AEH，

∴∠HBN=∠AEH，

∴∠HBN=∠HDM，

在△HDM與△HBN中，，

∴△HDM≌△HBN（SAS），

∴∠BHN=∠DHM，

∴∠BHD=∠MHN，

∵∠AFB=180°-∠BAF-∠ABF，

∠DHB=180°-∠HDB-∠HBD，

∴∠AFB=∠DHB，

∴∠MHN=∠AFB．