Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣4與y軸交于點A，頂點為B，點A的坐標為（0，﹣2），點C在拋物線上（不與點A，B重合），過點C作y軸的垂線交拋物線于點D，連結AC，AD，CD，設點C的橫坐標為m．

（1）求這條拋物線所對應的函數表達式．

（2）用含m的代數式表示線段CD的長．

（3）點E是拋物線對稱軸上一點，且點E的縱坐標比點C的縱坐標小1，連結BD，DE，設△ACD的面積為S1，△BDE的面積為S2，且S1S2≠0，求S2=S1時m的值．

（4）將拋物線y=a（x﹣2）2﹣4沿x=2平移，得到拋物線y=a（x﹣2）2+k，過點C作y軸平行線與拋物線y=a（x﹣2）2+k交于點F，若CD與y軸交于點G，且CD=6，直接寫出使AC=FG的點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣2；（2）當m＜2，且m≠0時，CD=4﹣2m；當m＞2時，CD=2m﹣4；（3）m=2±或m=；（4）點F的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，3）或（5，﹣2）或（5，3）

【解析】試題分析：（1）把A（0，-2）代入拋物線切線a=即可；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=2，且點C的橫坐標為m，得出當m<2，且m≠0時，CD=4-2m，當m>2時，CD=2m-4；

（3）求出BE=m2-2m+1或BE=-m2+2m-1，由三角形面積關系得出方程，解方程即可；

（4）由題意得出則四邊形AGCF是矩形，求出點C的坐標，分情況討論，根據點的坐標關系即可得出答案．

試題解析：（1）∵拋物線y=a（x﹣2）2﹣4與y軸交于點A（0，﹣2），

∴﹣2=4a﹣4，

解得：a=，

∴這條拋物線所對應的函數表達式為y=（x﹣2）2﹣4，

即y=x2﹣2x﹣2；

（2）∵拋物線y=（x﹣2）2﹣4的對稱軸為直線x=2，且點C的橫坐標為m，

∴當m＜2，且m≠0時，CD=4﹣2m；

當m＞2時，CD=2m﹣4；

（3）∵B（2，﹣4），E（2， m2﹣2m﹣3），

∴BE=m2﹣2m+1或BE=﹣m2+2m﹣1，

∴S1=CD（m2﹣2m）或S1=CD（﹣m2+2m），S2=CD（m2﹣2m+1）或S2=CD（﹣m2+2m﹣1），

∵S2=S1，

∴4（m2﹣2m）=3（m2﹣2m+1），或4（m2﹣2m）=﹣3（m2﹣2m+1），

解得：m=2±或=；

（4）若AC=FG，連接AF，則四邊形AGCF是矩形，

∵CD=6，拋物線的對稱軸為x=2，

∴點C的橫坐標為﹣1或5；

①當點C的橫坐標為﹣1時，點C的縱坐標=×（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣2=，

當拋物線向下平移時，如圖所示，

∵點A的坐標為（0，﹣2），

∴點F的坐標為（﹣1，﹣2）；

當拋物線向上平移時，同理得出點F的坐標為（﹣1，3）；

②當點C的橫坐標為5時，點C的縱坐標為，

當拋物線向下平移時，同理的點F的坐標為（5，﹣2）；

當拋物線向上平移時，同理得出點F的坐標為（5，3）；

綜上所述：點F的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，3）或（5，﹣2）或（5，3）．