Question

【題目】如圖，在等腰直角中，，D是線段上一點（），連接，過點C作的垂線，交的延長線于點E，交的延長線于點F.

（1）依題意補全圖形；

（2）若，求的大小（用含的式子表示）；

（3）若點G在線段上，，連接.

①判斷與的位置關系并證明；

②用等式表示之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）補全圖形，如圖見解析；（2）；（3）①DG與BC的位置關系: DG⊥BC. 見解析；②2CG2=DG2+AB2.

【解析】

根據題意畫出圖形解答即可；
根據等腰直角三角形的性質進行解答即可；
根據全等三角形的判定和性質以及垂直的判定解答即可；如圖：構造等腰Rt△BPD得PD2=2BD2．利用三角形全等證明△PGD為直角三角形，PG=AB即可得到結論.

解：補全圖形，如圖所示：

，，
，
，
，
交BD的延長線于點E，
，
，
，
；
與BC的位置關系：，
證明如下：
連接BG交AC于點M，延長GD交BC于點H，如圖2，

，，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
；

②如圖：作等腰Rt△BPD，連接PG、PD，

由①得BG⊥AC，∠PBD=90°，

∴∠ADB+∠DBM=90°，∠DBM+∠GBP=90°，

∴∠ADB=∠GBP，

在△ADB和△GBP中，

,

∴△ADB≌△GBP（SAS），

∴AB=PG，∠PGB=∠DAB=45°，

由①得，

∴∠PGB+∠MGD=90°，即△PGD為直角三角形，

∴PD2+DG2=PD2

∵PD2=2BD2,BD=CG

∴