Question

【題目】問題背景：
如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．

（1）小明同學探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是；
（2）探索延伸：
如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF= ∠BAD，上述結論是否仍然成立，請說明理由；
（3）實際應用：
如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心O北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，當∠EOF=70°時，兩艦艇之間的距離是海里．

（4）能力提高：
如圖④，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，則MN的長為 ．

Answer 1

【答案】
（1）EF=BE+DF
（2）

解：結論EF=BE+DF仍然成立；

理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，如圖②，

在△ABE和△ADG中， ，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF= ∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中， ，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

（3）280
（4）
【解析】解：（1.）EF=BE+DF，證明如下：
在△ABE和△ADG中， ，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中， ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
所以答案是 EF=BE+DF．
（3.）如圖③，連接EF，延長AE、BF相交于點C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的條件，
∴結論EF=AE+BF成立，
即EF=2×（60+80）=280海里．
答：此時兩艦艇之間的距離是280海里；
所以答案是：280；
（4.）如圖4，

將△ABM繞點A逆時針旋轉得到△ACD，
∴△ABM≌△ACD，
∴∠AMB=∠ADC，∠BAM=∠CAM，AM=AD，BM=CD=1，
∵∠AMB+∠AMC=90°，
∴∠AMC+∠ADC=180°，
∴∠MAD+∠MCD=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠MAD=∠MAC+∠CAD=∠MAC+∠BAM=90°，
∴∠MCD=90°，
在Rt△NCD中，CN=3，CD=1，
根據勾股定理得，ND= ，
∵∠MAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN=45°，
∵AM=AD，AN=AN，
∴△MAN≌△DAN，
∴MN=DN= ，
所以答案是 ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解全等三角形的性質(全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等)．