Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為5 厘米，對角線BD長8厘米．點P從點A出發沿AB方向勻速運動，速度為1厘米秒；點Q從點D 出發沿DB 方向勻速運動，速度為2 厘米/秒：P、Q 同時出發，當點Q與點B重合時，P、Q停止運動，設運動時間為t秒，解答下列問題：

（1）當t為何值時，△PBQ為等腰三角形？（2）當t為何值時，△PBQ的面積等于菱形ABCD面積的？

（3）連接AQ，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，請求出t值； 若不存在，請說明理蟲：

（4）直線PQ 交線段BC于點M，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使BM：CM=2：3？若存在，請求出t值； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t的值為0或3或；（2）t=1秒（3）t=或t=；（4）存在：t=．

【解析】試題分析：先由運動得出AP=t，DQ=2t，AB=5，BP=5-t，BQ=8-2t，（0≤t≤4）
（1）先由銳角三角函數得出sin∠ABD= ，cos∠ABD=，再分三種情況討論計算即可得出結論；
（2）先求出菱形的面積，再用三角函數得出PE，再用三角形BPQ的面積與菱形面積的關系建立方程，解方程即可得出結論；
（3）先判斷出△BPQ∽△DQA，得出比例式建立方程求解即可得出結論；
（4）先判斷出△BMN∽△BCD，得出 ，即可求出MN=2，BN=，再判斷出△BPQ∽△NMQ，得出比例式建立方程求解即可得出結論．

試題解析：

由運動知，AP=t，DQ=2t，

∵AB=5，BD=8，

∴BP=5﹣t，BQ=8﹣2t，（0≤t≤4）

（1）如圖，

連接AC交BD于O，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB=BD=4，

在Rt△AOB中，AB=5，OB=4，

根據勾股定理得，OA=3，

sin∠ABD=，cos∠ABD=，

∵△BPQ是等腰三角形，

∴①如圖1，BP=PQ

過點P作PE⊥OD于E，

∴BE=BQ=4﹣t，

在Rt△BPE中，cos∠ABD=，

∴t=0，

②如圖2，BP=BQ，

∴5﹣t=8﹣2t，

∴t=3，

③如圖3，BQ=PQ，

過點Q作QE⊥AB于E，

∴BE=BP=（5﹣t），

在Rt△BEQ中，cos∠ABD=，

∴t=，

即：△BPQ是等腰三角形時，t的值為0或3或；

（2）如圖4，

由（1）知，AC=2OA=6，

∵BD=8，

∴S菱形ABCD=AC×BD=24，

過點P作PE⊥BD于E，在Rt△BPE中，sin∠ABD= ，

∴，

∴PE=（5﹣t），

∴S△BPQ=BQ×PE=×（8﹣2t）×（5﹣t）=（4﹣t）（5﹣t），

∵△PBQ的面積等于菱形ABCD面積的，

∴（4﹣t）（5﹣t）=×24，

∴t=8（舍）或t=1秒，

（3）如圖5，

∵∠ABD=∠AQP，

∴∠BPQ=∠AQP+∠BAQ=∠ABD+∠BAQ，

∵∠AQD=∠ABD+∠BAQ，

∴∠BPQ=∠DQA，

∵BD是菱形ABCD的對角線，

∴∠ABD=∠ADB，

∴△BPQ∽△DQA，

∴，

∴，

∴t= 或t=；

（4）存在：理由：如圖6，過點M作MN∥CD交BD于N，

∴MN∥BP，

∵BM：CM=2：3，且BC=5，

∴BM=2，

∵MN∥CD，

∴△BMN∽△BCD，

∴ ，

∴，

∴MN=2，BN=，

∵BQ=8﹣2t，

∴NQ=BN﹣BQ=﹣（8﹣2t）=2t﹣，

∵MN∥BP，

∴△BPQ∽△NMQ，

∴ ，

∴ ，

∴5t2﹣47t+100=0，

∴t= （舍去）或t=．