Question

【題目】如圖1，直線y＝﹣x+4與坐標軸分別相交于A、B兩點，在第一象限內，以線段AB為邊向外作正方形ABCD，過A、C點作直線AC．

（1）填空：點A的坐標是　 　，正方形ABCD的邊長等于　 　；

（2）求直線AC的函數解析式；

（3）如圖2，有一動點M從B出發，以1個單位長度/秒的速度向終點C運動，設運動的時間為t（秒），連接AM，當t為何值時，則AM平分∠BAC？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（3，0），5；（2）y＝7x﹣21；（3）t為5﹣5時，AM平分∠BAC．

【解析】

（1）根據坐標軸上點的特點求出點A，B坐標，即可得出結論；（2）先判斷出△AOB≌△BNC，得出BN＝OA＝3，CN＝OB＝4，即可求出點C縱坐標，最后用待定系數法即可得出結論；（3）先判斷出MF＝CF，用CM＝BM建立方程即可得出結論；

解：

（1）∵直線y＝與坐標軸分別相交于A、B兩點，

令x＝0，則y＝4，

∴B（0，4），

令y＝0，則0＝，

∴x＝3，

∴A（3，0），

∴AB＝＝5，

故答案為：（3，0），5；

（2）如圖1，過點C作CN⊥OB于N，

∴∠CBN+∠BCN＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠OBA+∠CBN＝90°，

∴∠OBA＝∠BCN，

在△AOB和△BNC中，

，

∴△AOB≌△BNC（AAS），

∴CN＝OB＝4，BN＝OA＝3，

∴ON＝OB+BN＝7，

∴C（4，7），

設直線AC的解析式為y＝kx+b，

∵A（3，0），

∴，

∴；

∴直線AC的解析式為y＝7x﹣21；

（3）如圖2，過M作MF⊥AC

當AM為∠BAC的角平分線時，

∵MF⊥AC，MB⊥AB

∴BM＝FM

∵∠MCF＝45°，

∴MF＝CF

設BM＝x，則CM＝5﹣x，

則CM＝MF＝BM，

∴5﹣x＝x，

∴（+1）x＝5，

∴x＝，

∴t為時，AM平分∠BAC．