Question

【題目】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：

如圖，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到，使得，再連接（或?qū)?/span>繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到），把、、集中在中，利用三角形的三邊關(guān)系可得，則．

[感悟]解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．

解決問(wèn)題：受到的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下列命題：如圖，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．求證：，若，探索線段、、之間的等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】證明見解析；，理由見解析.

【解析】

（1）可按閱讀理解中的方法構(gòu)造全等，把CF和BE轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中求解．
（2）由（1）中的全等得到∠C=∠CBG．∵∠ABC+∠C=90°，∴∠EBG=90°，可得三邊之間存在勾股定理關(guān)系；

延長(zhǎng)到，使得，連接、．

（或把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到），

∴，，

∵，

∴．

在中，，即．

若，則，

由知，，

∴，即，

∴在中，，

∴．