Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB＝AC，∠BAD＝90°，延長AD，BC交于點F．過點D作⊙O的切線，交BF于點E．

（1）求證：DE＝EF；

（2）若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)連接BD，由AB＝AC知∠ABC＝∠ADB，證∠ABC＝∠CDF得∠CDF＝∠ADB．由∠BAD＝90°知BD為⊙O的直徑，據此得∠F+∠CDF＝90°，結合DE為⊙O的切線得∠ADB+∠EDF＝90°，根據∠CDF＝∠ADB得∠F＝∠EDF，從而得證；

(2)由可設EC＝3，則EF＝5，CF＝8，證△EDC～△EBD得，據此知，，BC＝，連接OB，OC，AC，AO并延長AO交BC于點H，由AB＝AC，OB＝OC知AO垂直平分BC，從而得，再由AH⊥BC，DC⊥BC知DC∥AH，得．

解：(1)連接BD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ADB，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠CDF，

∴∠CDF＝∠ADB．

∵∠BAD＝90°，

∴BD為⊙O的直徑，

∴∠DCB＝90°，

∴∠DCF＝90°，

∴∠F+∠CDF＝90°，

∵DE為⊙O的切線，

∴∠ODE＝90°，

∴∠ADB+∠EDF＝90°，

∵∠CDF＝∠ADB，

∴∠F＝∠EDF，

∴DE＝EF；

(2)∵，

設EC＝3，則EF＝5，CF＝3+5＝8，

∵∠BDE＝∠DCE＝90°，∠DEC＝∠DEB，

∴△EDC～△EBD，

∴，

∴，，，

∴，

連接OB，OC，AC，AO并延長AO交BC于點H，

又∵OB＝OC，AB＝AC，

∴AO垂直平分BC，

∴，

∵AH⊥BC，DC⊥BC，

∴DC∥AH，

∴．