Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的三個頂點A，B，D在坐標軸上，且已知點A（，），點B（，），現有拋物線m經過點B，C和OD的中點．

（1）求拋物線m的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點P，使得？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）拋物線m與x軸的另一交點為F，M是線段AC上一動點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在滿足條件的點，使得，理由見解析；（3）

【解析】

（1）先求出點C和點D的坐標，再求出點E的坐標，設出函數m的解析式，把B、E、C三點坐標代入解析式進行求解即可；

（2）點是拋物線和直線的交點，求出AC的解析式，聯立方程組，解出方程組進行取舍即可得點P坐標；

（3）過作軸于，過作于，證明△AOG∽△CNM，可得，從而可得結論.

（1）∵，

∴，

∴，即菱形的長為5，

∴，

∴，

∴OD的中點坐標為：

設拋物線的解析式為：，則

，解得

∴拋物線的解析式為．

（2）存在滿足條件的點，使得．理由如下：

①當點P在BC下方時，∵，，

∴點在菱形的對角線上，

∴點是拋物線和直線的交點，

設直線的解析式為，

∵，，，，

∴，解得，

∴直線的解析式為，

由解得或（舍去），

∴，．

（3）過作軸于，過作于，

∵軸，∴，

又∵，

∴△AOG∽△CNM，

∴，

∴，

∵點到最小距離為，

∴的最小值為的長度4，

∴的最小值為．