Question

4．求邊長為20cm的正六邊形的面積，此正六邊形內切圓周長和外接圓面積．

Answer 1

分析 首先根據題意畫出圖形，易得△OBC是等邊三角形，繼而可得正六邊形的半徑、邊心距，由S_正六邊形=6S_△OBC求得正六邊形的面積；正六邊形的內切圓周長=2π×OH，由圓的面積公式即可得出外接圓的面積．

解答 解：如圖所示：
連接OB，OC，過點O作OH⊥BC于H，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BOC=$\frac{1}{6}$×360°=60°，
∵OB=0C，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=OC=BC=20cm，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=10cm，
∴OH=$\sqrt{O{B}^{2}-B{H}^{2}}$=10$\sqrt{3}$cm，
∴正六邊形的面積=6×$\frac{1}{2}$×20×10$\sqrt{3}$=600$\sqrt{3}$（cm²）；
正六邊形內切圓周長=2π×10$\sqrt{3}$=20$\sqrt{3}$π（cm）；
正六邊形外接圓面積=π×20²=400π（cm）．

點評 此題考查了正六邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、圓的周長和面積公式．此題難度適中，熟練掌握正六邊形的性質是解決問題的關鍵．