Question

14．如圖，矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（4，0），點B（0，3），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP．經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，連接OQ，設BP=t．
（1）當t=1時，求點Q的坐標；
（2）設S_{四邊形OQCB}=s，試用含有t的式子表示s；
（3）當OQ取得最小值時，求點Q的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

分析 （1）先由翻折性質推出∠OPQ=90°，進而推出△OBP∽△PCQ，列出相似比例關系即可求得CQ，進而求得AQ的長，求得Q的坐標；
（2）由△OBP∽△PCQ，列出相似比例關系即可表示出CQ，然后根據梯形的面積公式即可求得；
（3）根據勾股定理當AQ取最小值時，OQ的值最小，由△OBP∽△PCQ，列出相似比例關系即可表示出AQ，根據二次函數的性質求得AQ取最小值即可，

解答 解：（1）如圖，∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，
∴∠OPB+∠QPC=90°，
∵∠BOP+∠OPB=90°，
∴∠BOP=∠CPQ，
又∵∠OBP=∠C=90°，
∴△OBP∽△PCQ，∴$\frac{OB}{PC}$=$\frac{BP}{CQ}$，
∵BP=1，則PC=3，
∴$\frac{3}{3}$=$\frac{1}{CQ}$，
∴CQ=1，
∴AQ=2，
∴Q（4，2）；
（2）∵△OBP∽△PCQ，∴$\frac{OB}{PC}$=$\frac{BP}{CQ}$，
∵BP=t，BC=4，AC=3，則PC=4-t，∴$\frac{3}{4-t}$=$\frac{t}{CQ}$，
∴CQ=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t．
∴s=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t）×4=-$\frac{2}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+6（0＜t＜4）；
（3）∵△OBP∽△PCQ，∴$\frac{OB}{PC}$=$\frac{BP}{CQ}$，
由題意設BP=t，AQ=m，BC=4，AC=3，則PC=4-t，CQ=3-m．∴$\frac{3}{4-t}$=$\frac{t}{3-m}$，
∴m=$\frac{1}{3}$t²-$\frac{4}{3}$t+3=$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{5}{3}$（0＜t＜4）．
∵OA=4是定值，根據勾股定理當m取最小值時，OQ的值最小，
∴當t=2時，m最小值為$\frac{5}{3}$，
∴此時Q（4，$\frac{5}{3}$）．

點評 本題考查了翻折變換的性質、矩形的性質、相似三角形的判定與性質、二次函數等知識點，綜合性較強，難度較大．清楚翻折前后的兩個圖形全等以及熟悉相似三角形的判定與性質是解決本題的關鍵．