Question

4．已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．
（1）如圖（1）若AC=2，∠ABC=30°，試求圖中陰影部分的面積；
（2）如圖（2），BD是⊙O的直徑，AE⊥BC；
①求證：△AEC∽△BAD；
②若AB=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，試求線段AC和BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOC是等邊三角形，進而得出等邊三角形的面積，再利用扇形AOC的面積公式，即可得出圖中陰影部分的面積；
（2）根據(jù)BD是⊙O的直徑，AE⊥BC，得到∠BAD=∠AEC=90°，由于∠D=∠C，根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=1，根據(jù)勾股定理得到BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BD}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接AO，CO，過點O作ON⊥AC于點N，
∵△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
∵AO=CO，
∴△AOC是等邊三角形，
∵AC=6，ON⊥AC，
∴AN=NC=1，
∴ON=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴△AOC的面積為：$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
扇形AOC的面積為：$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π，
∴圖中陰影部分的面積是：$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$；

（2）①∵BD是⊙O的直徑，AE⊥BC，
∴∠BAD=∠AEC=90°，
∵∠D=∠C，
∴△AEC∽△BAD；

②∵∠ABC=45°，∠AEB=90°，
∴AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=1，
∵∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵△AEC∽△BAD，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{BD}$，
即$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{AC}{\sqrt{10}}$，
∴AC=$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，等邊三角形的判定，扇形面積求法，等邊三角形面積求法，根據(jù)已知得出等邊三角形的高是解決（1）題關(guān)鍵．