Question

【題目】已知△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB,AC的長分別為關于x的一元二次方程的兩個實數根。

（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）當k=2時，請判斷△ABC的形狀并說明理由；

（3）k為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ABC為直角三角形，見解析；（3）當k=4時，△ABC是等腰三角形，△ABC的周長=16；當k=3時，△ABC是等腰三角形，△ABC的周長=14.

【解析】

（1）根據根的判別式即可求出答案；

（2）將k的值代入原方程并求解后，根據勾股定理逆定理即可求出答案；

（3）根據等腰三角形的性質即可求出k的值．

（1）△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1＞0，

∴無論k為何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）當k=2時，

∴原方程化為：x2-7x+12=0，

解得：x=3或x=4，

∴32+42=52，

∴△ABC是直角三角形；

（3）當BC是等腰三角形的腰時，

∴x=5是方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0解，

∴25-5（2k+3）+k2+3k+2=0，

解得：k2-7k+12=0，

∴k=3或k=4，

若k=3時，

則方程為：x2-9x+20=0，

∴x=4或x=5，滿足三角形三邊關系，

此時周長為14；

若k=4時，

則方程：x2-11x+30=0，

∴x=5或x=6，滿足三角形三邊關系，

此時周長為16；

當BC是等腰三角形的底邊時，

此時方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0有兩個相等的解，不滿足題意，

綜上所述，△ABC的周長為14或16.