Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形，點B、D、E在同一直線上，連接AE．

填空：

①∠AEC的度數為　 　；

②線段AE、BD之間的數量關系為　 　．

（2）拓展探究

如圖2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點B、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接AE．試求∠AEB的度數及判斷線段CM、AE、BM之間的數量關系，并說明理由．

（3）解決問題

如圖3，在正方形ABCD中，CD=2，點P在以AC為直徑的半圓上，AP=1，①∠DPC=　 °； ②請直接寫出點D到PC的距離為　 ．

Answer 1

【答案】（1）①120°；②AE=BD；（2）∠AEB=90°，BM=AE+CM，理由見解析；（3）①45；②.

【解析】

（1）①根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定定理證明△ECA≌△DCB，再利用全等三角形的性質與外角的性質得出結論；

②由①可得AE=BD；

（2）利用等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定定理證明△ECA≌△DCB，再利用全等三角形的性質與外角的性質得出結論；

（3）①①四邊形ABCD為正方形，點P在以AC為直徑的半圓上，易得A，P，C，D四點共圓，則∠DPC=∠DAC=45°；

②有勾股定理得到PC=，再利用等腰直角三角形得出DM=PM，進而利用勾股定理得出點D到PC的距離.

（1）①∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，

∴CE=CD，CA=CB，∠ECA=60°﹣∠ACD，∠DCB=60°﹣∠ACD，

在△ECA與△DCB中，

，

∴△ECA≌△DCB（SAS），

∴∠AEC=∠BDC=∠CED+∠CDE=60°+60°=120°，

故答案為：120°；

②∵△ECA≌△DCB，

∴AE=BD，

故答案為：AE=BD；

（2）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，

∴∠ECA=90°﹣∠ACD，∠DCB=90°﹣∠ACD，

∴∠ECA=∠DCB，

在△ECA與△DCB中，

，

∴△ECA≌△DCB（SAS），

∴∠AEC=∠BDC=135°，BD=AE，

∴∠AEB=∠AEC﹣∠BEC=135°﹣45°=90°，

∵△DCE都是等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，

∴CM=MD，

∵BM=BD+DM，

∴BM=AE+CM；

（3）①四邊形ABCD為正方形，點P在以AC為直徑的半圓上，

∴∠APC+∠ADC=90°+90°=180°，

∴A，P，C，D四點共圓，

∴∠DPC=∠DAC=45°，

故答案為：45；

②如圖，過點D作DM⊥PC，垂足為M，

∵在正方形ABCD中，CD=2，點P在以AC為直徑的半圓上，AP=1，

∴AC=2，PC===，

∵∠DPC=45°，

∴DM=PM，

設DM=PM=x，則MC=﹣x，

在Rt△DMC中，

DM2+MC2=DC2，

則x2+（﹣x）2=22，

整理得：2x2﹣2x+3=0，

解得；x1=，x2=（不符合題意舍去），

即點D到PC的距離為：．

故答案為：．