Question

【題目】如圖1，OA=2，OB=4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，

(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APD，過(guò)D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，求OPDE的值；

(3)如圖3,已知點(diǎn)F坐標(biāo)為(2,2),當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí),作Rt△FGH,始終保持∠GFH=90,FG與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G(0,m),FH與x軸正半軸交于點(diǎn)H(n,0)，當(dāng)G點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下兩個(gè)結(jié)論：①mn為定值；②m+n為定值，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)找出正確的結(jié)論，并求出其值.

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,2)； (2) OPDE= 2； (3)結(jié)論②是正確的，m+n=4.

【解析】

（1）過(guò)C點(diǎn)作CM⊥x軸于M點(diǎn)，因?yàn)?/span>AC＝AB，則作CM⊥x軸，即求CM和AM的值，容易得△MAC≌△OBA，根據(jù)已知即可求得C點(diǎn)的值；
（2）求OPDE的值則將其放在同一直線上，過(guò)D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，即是求PQ的值，由圖易求得△AOP≌△PDQ（AAS），即可求得PQ的長(zhǎng)；
（3）利用（2）的結(jié)論，可知m＋n為定長(zhǎng)是正確的，過(guò)F分別作x軸和y軸的垂線，類似（2），即可求得m＋n的值．

(1)過(guò)C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，如圖1，

∵CM⊥OA，AC⊥AB，

∴∠MAC+∠OAB=,∠OAB+∠OBA=

則∠MAC=∠OBA

在△MAC和△OBA中

則△MAC≌△OBA(AAS)

則CM=OA=2,MA=OB=4,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,2)；

(2)過(guò)D作DQ⊥OP于Q點(diǎn),如圖2,

則OPDE=PQ,∠APO+∠QPD=，

∠APO+∠OAP=，則∠QPD=∠OAP，

在△AOP和△PDQ中

則△AOP≌△PDQ(AAS)

∴OPDE=PQ=OA=2；

(3)結(jié)論②是正確的，m+n=4，

如圖3,過(guò)點(diǎn)F分別作FS⊥x軸于S點(diǎn),FT⊥y軸于T點(diǎn),

則FS=FT=2，∠FHS=∠HFT=∠FGT，

在△FSH和△FTG中

則△FSH≌△FTG(AAS)

則GT=HS，

又∵G(0,m),H(n,0),點(diǎn)F坐標(biāo)為(2,2)，

∴OT═OS=2，OG=|m|=m，OH=n，

∴GT=OGOT=m2，HS=OH+OS=n+2，

則2m=n+2，

則m+n=4.