Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判斷CD與圓O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為2，∠CBD=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）判斷CD與圓O相切，理由見解析；（2）2π．

【解析】

（1）連接OD，根據圓周角定理得∠BDO+∠ODA=90°，因為∠CDA=∠DBC，∠DBC=∠BDO，所以∠ODA+∠CDA=90°，即可證得結論；

（2）求得△OCD的面積和扇形OAD的面積，二者的差 就是陰影部分的面積.

（1）CD與圓O的位置關系是相切，

理由是：連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠BDA=90°，

即∠BDO+∠ODA=90°，

∵OD=OB，

∴∠DBC=∠BDO，

∵∠CDA=∠DBC，

∴∠CDA=∠BDO，

∴∠ODA+∠CDA=90°，

即OD⊥DC，

∵OD過O，

∴CD與圓O的位置關系是相切；

（2）∵∠DBC=30°，∠BDO=∠DBC，

∴∠BDO=30°，

∴∠DOA=30°+30°=60°，

∵∠ODC=90°，

∴DC=OD×tan60°=2，

∴陰影部分的面積S=S△ODC﹣S扇形DOA=×2×2﹣=2﹣π．