Question

【題目】如圖1，在長方形中，，有一只螞蟻在點 處開始以每秒1個單位的速度沿邊向點爬行，另一只螞蟻從點以每秒2個單位的速度沿邊向點爬行，螞蟻的大小忽略不計，如果、同時出發，設運動時間為s.

(1)當時，求的面積;

(2)當 時，試說明是直角二角形;

(3)當運動3s時，點停止運動，點以原速立即向點返回，在返回的過程中，是否存在點，使得平分?若存在，求出點運動的時間，若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）8；（2）詳見解析；（3）存在點Q，使得DP平分，此時s

【解析】

（1）根據題意求出t=2時PB和BQ的長，然后根據三角形面積公式即可求出面積；

（2）利用勾股定理求出DP，PQ，DQ，得到即可證明；

（3）根據題意得到AP=3，設Q再運動x秒，用x表示出BQ，CQ，作PH⊥BC于H，可證，求出DQ，最后在Rt△DCQ中利用勾股定理建立方程解出x，然后加上3秒，即為Q的運動時間.

（1）當時，

S△ABD =×4×4=8

（2）當時，

∴

∴

∵∠DQP=90°,

∴是直角三角形.

(3) 當時，，∴P是AB的中點，PA=PB=3，

此時BQ=6，設點Q返回時再運動x秒符合要求，則

作PH⊥BC于H，∵PD平分∠ADQ，又∵PA⊥AD，

在Rt△PBQ和Rt△PHQ中，PQ=PQ，PB=PH，

，

在Rt△DCQ中，

解得

所以Q的運動時間為秒

答：存在點，使得平分，此時Q點運動時間為秒.