Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點E，DA平分∠BDE

（Ⅰ）求證：AE是⊙O的切線；

（Ⅱ）若∠DBC=30°，DE=1 cm，求BD的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）4.

【解析】

（Ⅰ）證明：連結OA，

∵DA平分∠BDE，

∴∠ADE＝∠ADO ，

∵OA=OD，

∴∠OAD＝∠ADO ，

∴∠ADE＝∠OAD，

∴OA∥CE，

∵AE⊥CD，

∴AE⊥OA，

∴AE是⊙O的切線；

（Ⅱ）∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BCD＝90°，

∵∠DBC=30°，

∴∠BDE＝120°，

∵DA平分∠BDE，

∴∠ADE＝∠ADO=60°，

∵OA=OD，

∴△OAD是等邊三角形，

∴AD=OD=BD，

在Rt△AED中，DE=1，∠ADE=60°，

∴AD== 2，

∴BD=4.