Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點M，N分別為AD，AC上的動點（不含端點），AN＝DM，連結點M與矩形的一個頂點，以該線段為直徑作⊙O，當點N和矩形的另一個頂點也在⊙O上時，線段DM的長為_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

分兩種情形：如圖1中，當點N在CM為直徑的圓上時，如圖2中，當點N在BM為直徑的圓上時，分別利用相似三角形的性質構建方程解決問題即可．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，AB=CD=6，BC=AD=8，

∴AC==10，

如圖1中，當點N在CM為直徑的圓上時，設DM=AN=x．

∵CM為直徑，

∴∠CNM=90°，

∵∠MAN=∠CAD， ∠ANM=∠ADC=90°，

∴△ANM∽△ADC，

∴，

∴，

解得x=，

∴DM=；

如圖2中，當點N在BM為直徑的圓上時，設BC與圓的交點為H，連接MH，NH．設DM=AN=y．

∵BM是直徑，

∴∠MHB=90°，

∴∠MHC=∠D=∠DCH=90°，

∴四邊形CDMH是矩形，

∴CH=DM=y，

∵∠NCH=∠BCA，∠CHN=∠CAB，

∴△CNH∽△CBA，

∴，

∴，

解得y=，

∴DM=，

故答案為：或．