Question

【題目】（問題呈現）阿基米德折弦定理：

如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝DB+BA．下面是運用“截長法”證明CD＝DB+BA的部分證明過程．

證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．

∵M是的中點，

∴MA＝MC①

又∵∠A＝∠C②

∴△MAB≌△MCG③

∴MB＝MG

又∵MD⊥BC

∴BD＝DG

∴AB+BD＝CG+DG

即CD＝DB+BA

根據證明過程，分別寫出下列步驟的理由：

①　 　，

②　 　，

③　 　；

（理解運用）如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點M是的中點，MD⊥BC于點D，則BD＝　 　；

（變式探究）如圖3，若點M是的中點，（問題呈現）中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數量關系？并加以證明．

（實踐應用）根據你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：

如圖4，BC是⊙O的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長．

Answer 1

【答案】（問題呈現）相等的弧所對的弦相等；同弧所對的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等；（理解運用）1；（變式探究）DB＝CD+BA；證明見解析；（實踐應用）7或．

【解析】

（問題呈現）根據圓的性質即可求解；

（理解運用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；

（變式探究）證明△MAB≌△MGB（SAS），則MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，則DC＝DG，即可求解；

（實踐應用）已知∠D1AC＝45°，過點D1作D1G1⊥AC于點G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．

（問題呈現）

①相等的弧所對的弦相等

②同弧所對的圓周角相等

③有兩組邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等

故答案為：相等的弧所對的弦相等；同弧所定義的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等；

（理解運用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，

BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，

故答案為：1；

（變式探究）DB＝CD+BA．

證明：在DB上截去BG＝BA，連接MA、MB、MC、MG，

∵M是弧AC的中點，

∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．

又MB＝MB

∴△MAB≌△MGB（SAS）

∴MA＝MG

∴MC＝MG，

又DM⊥BC，

∴DC＝DG，

AB+DC＝BG+DG，

即DB＝CD+BA；

（實踐應用）

如圖，BC是圓的直徑，所以∠BAC＝90°．

因為AB＝6，圓的半徑為5，所以AC＝8．

已知∠D1AC＝45°，過點D1作D1G1⊥AC于點G1，

則CG1′+AB＝AG1，

所以AG1＝（6+8）＝7．

所以AD1＝7．

如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．

所以AD的長為7或．