Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，點D為AB的中點，若直角MDN繞點D旋轉，分別交AC于點E，交BC于F，則下列說法：①AE＝CF；②EC+CF＝4；③DE＝DF；④若△ECF面積為一個定值，則EF長也是一個定值，其中正確的結論是_____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①如果連接CD，可證△ADE≌△CDF，得出AE＝CF；

②由①知，EC+CF＝EC+AE＝AC，而AC為等腰直角△ABC的直角邊，由于斜邊AB＝8，由勾股定理可求出AC＝BC＝4；

③由①知DE＝DF；

④由△ECF的面積＝×CE×CF，如果這是一個定值，則CECF是一個定值，又EC+CF＝，從而可唯一確定EC與EF的值，由勾股定理知EF的長也是一個定值．

解：①連接CD．

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為AB的中點，

∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，

在△ADE與△CDF中，∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF．

∴①說法正確；

②∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，

∴AC＝BC＝4．

由①知AE＝CF，

∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝4．

∴②說法正確；

③由①知△ADE≌△CDF，

∴DE＝DF．

∴③說法正確；

④∵△ECF的面積＝×CE×CF，如果這是一個定值，則CECF是一個定值，

又∵EC+CF＝，

∴可唯一確定EC與EF的值，

再由勾股定理知EF的長也是一個定值，

∴④說法正確．

故答案為：①②③④