Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA＝10，OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O切于點B，BP的延長線交直線l于點C．

（1）試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由；

（2）若PC＝4，求⊙O的半徑和線段PB的長．

Answer 1

【答案】（1）AB＝AC，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，根據切線的性質和垂直得出，推出，求出，根據等腰三角形的判定推出即可

（2）延長AP交⊙O于E，連接BDE，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=10﹣r，根據AB=AC推出，求出r，證△EPB∽△CPA，得出關于BP的比例式，代入求出即可．

解：（1）AB＝AC，理由如下：

如圖1，連接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥l，

∴∠OBA＝∠OAC＝90°，

∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，

∵OP＝OB，

∴∠OBP＝∠OPB，

∵∠OPB＝∠APC，

∴∠ACP＝∠ABC，

∴AB＝AC；

（2）如圖2，延長AP交⊙O于E，連接BE，

設圓半徑為r，則OP＝OB＝r，PA＝10﹣r，

則AB2＝OA2﹣OB2＝102﹣r2，

∵AC2+PA2＝PC2，

∴，

解得：r＝6，

∴AB＝AC＝8，PA＝OA﹣OP＝4，

∵PE是⊙O的直徑，

∴∠PBE＝90°＝∠PAC，

又∵∠EPB＝∠CPA，

∴△EPB∽△CPA，

∴ ，

∴ ，

∴ ．