Question

如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，過C點作CG∥AD交AB的延長線于點G，
連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．
（1）試問：CG是⊙O的切線嗎？說明理由；
（2）求證：E為OB的中點；
（3）若AB=8，求弧BC、CG、BG組成的圖形的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）根據平行線的性質求出OC⊥CG，根據切線的判定得出即可；
（2）根據垂徑定理求出CE=DE，證△BDE∽△OCE，得出比例式，即可得出OE=BE，即可得出答案；
（3）求出OC和OE，即可求出∠COE和∠G，分別求出△OCG和扇形COB的面積，即可求出答案．

解答：（1）解：CG是⊙O的切線，
理由是：∵CG∥AD，
∴∠FCG+∠CFD=180°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFG=90°，
∴∠FCG=90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O的切線；

（2）證明：連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠AFO=90°，
∴DB∥CF，
∴△BDE∽△OCE，
∴

BE

OE

=

DE

CE

，
∵AE⊥CD，且AE過圓心O，
∴CE=DE，
∴BE=OE，
即點E為OB的中點；

（3）解：∵直徑AB=8，
∴OC=4，OB=4，OE=2，
∴∠OCE=30°，
∵∠OEC=90°，
∴∠COE=60°，
∵∠OCG=90°，
∴∠G=90°-60°=30°，
∴OG=2OC=8，由勾股定理得：CG=

82-42

=4

3

，
∴弧BC、CG、BG組成的圖形的面積S=S_△OCG-S_扇形COB=

1

2

×4×4

3

-

60π•42

360

=8

3

-

8

3

π．

點評：本題考查了平行線的性質和判定，切線的判定，相似三角形的性質和判定，垂徑定理，勾股定理，扇形的面積，含30度角的直角三角形的性質的應用，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，有一定的難度．