Question

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．在平面內(nèi)將△ABC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A落到A′，點(diǎn)C落到C′，若旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′和點(diǎn)A、點(diǎn)B正好在同一直線上，那么∠A′AC′的正切值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：分類討論：當(dāng)C′點(diǎn)在線段AB上，如圖1，連結(jié)AA′，先利用勾股定理計算出AB=5，在根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC′=BC=4，A′C′=AC=3，則AC′=AB-BC′=1，然后在Rt△AA′C′中，利用正切的定義即可得到tan∠A′AC′=

A′C′

AC′

=3；當(dāng)C′點(diǎn)在線段AB的延長線上，如圖2連結(jié)AA′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC′=BC=4，A′C′=AC=3，則AC′=AB+BC′=9，然后在Rt△AA′C′中，根據(jù)正切的定義得到tan∠A′AC′=

A′C′

AC′

=

1

3

．

解答：解：當(dāng)C′點(diǎn)在線段AB上，如圖1，連結(jié)AA′，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∵在平面內(nèi)將△ABC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A落到A′，點(diǎn)C落到C′，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=3，
∴AC′=AB-BC′=1，
在Rt△AA′C′中，tan∠A′AC′=

A′C′

AC′

=

3

1

=3；
當(dāng)C′點(diǎn)在線段AB的延長線上，如圖2，連結(jié)AA′，
∵在平面內(nèi)將△ABC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A落到A′，點(diǎn)C落到C′，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=3，
∴AC′=AB+BC′=9，
在Rt△AA′C′中，tan∠A′AC′=

A′C′

AC′

=

3

9

=

1

3

，
綜合所述，∠A′AC′的正切值等于

1

3

或3．
故答案為

1

3

或3．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了銳角三角函數(shù)的定義．