Question

已知AB是⊙O的直徑，AT與⊙O相切于點A，⊙O交BT于C，CT=CB．
（1）如圖1，求證：AB=AT；
（2）如圖2，OT交⊙O于E，求tan∠TBE的值．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：（1）欲證明AB=AT，只需證得AC是邊BT上的中垂線；
（2）過B作BF∥AT交TO的延長線于F，過B作BG⊥TF于G，過E作EH⊥BT于H，設AB=2，則OA=OB=OE=1，AT=2，BT=2

2

，OT=

22+12

=

5

，根據△AOT∽△BOF，求得BF=AT=2，OF=OT=

5

，根據三角形的面積求得OF•BG=OB•BF，得出BG=

OB•BF

FO

=

2

5

=

2 5

5

，OG=

OB2-BG2

=

5

5

，從而求得TG=OT+OG=

5

+

5

5

=

6 5

5

，根據△BTG∽△ETH，求得HE=

5 2 - 10

10

，HT=

15 2 -3 10

10

，進而求得BH=2

2

-

15 2 -3 10

10

=

5 2 +3 10

10

，從而求得tan∠TBE的值．

解答：（1）證明：如圖1，∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°．
又∵CT=CB，
∴AC是邊BT上的中垂線，
∴AT=AB．
（2）解：過B作BF∥AT交TO的延長線于F，過B作BG⊥TF于G，過E作EH⊥BT于H，
設AB=2，
∴OA=OB=OE=1，AT=2，BT=2

2

，OT=

22+12

=

5

，
∵△AOT∽△BOF，
∴

AT

BF

=

OT

OF

=

OA

OB

=1，
∴BF=AT=2，OF=OT=

5

，
∴OF•BG=OB•BF，
∴BG=

OB•BF

FO

=

2

5

=

2 5

5

，
∴OG=

OB2-BG2

=

5

5

，
∴TG=OT+OG=

5

+

5

5

=

6 5

5

，
∵△BTG∽△ETH，
∴

HE

BG

=

ET

BT

=

HT

TG

，
∵TE=OT-OE=

5

-1，
∴

HE

2 5 5

=

5 -1

2 2

=

HT

6 5 5

，
∴HE=

5 2 - 10

10

，HT=

15 2 -3 10

10

，
∴∴tan∠TBE=

HE

BH

=

5 2 - 10 10

5 2 +3 10 10

=

5 2 - 10

5 2 +3 10

=

5

-2．

點評：本題考查了切線的性質，圓周角的性質三角形相似的性質，勾股定理的應用以及解直角三角形，作出輔助線構建直角三角形是本題的關鍵．