Question

如圖，把兩個全等的Rt△AOB和Rt△COD分別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點A（1，2），過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F．拋物線y=ax²+bx+c經過O、A、C三點．

（1）求該拋物線的函數解析式；
（2）點P為線段OC上一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（點A始終在線段AC上，且不與點C重合），△AOB在平移過程中與△COD重疊部分面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=x²+x；（2）（，）；（3）

試題分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c經過點O、A、C即可根據待定系數法求得拋物線解析式；
（2）設點P的橫坐標為t，由PN∥CD，可證得△OPN∽△OCD，根據相似三角形的性質可得PN=，則可得點P坐標為（t，），由點M在拋物線上可得M（t，t²+t），過M點作MG⊥AB于G，過P點作PH⊥AB于H，則AG=y_A﹣y_M=2﹣（t²+t）=t²﹣t+2，BH=PN=，當AG=BH時，四邊形ABPM為等腰梯形，即可得到關于t的方程，解出即可得到結果；
（3）如解答圖2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x軸于T，交OC于Q，A′O′交x軸于K，交OC于R．求得過A、C的直線為y_AC=﹣x+3，可設點A′的橫坐標為a，則點A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，OH=2RH，即可得到點Q的坐標，從而表示出A′Q的長，先求出tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，即可表示出KT、OK，過點R作RH⊥x軸于H，先表示出S關于a的函數關系式，再根據二次函數的性質即可求得結果.
（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點O、A、C，
可得c=0，∴
解得a=，b=，
∴拋物線解析式為y=x²+x．
（2）設點P的橫坐標為t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，），∵點M在拋物線上，∴M（t，t²+t）．
如解答圖1，過M點作MG⊥AB于G，過P點作PH⊥AB于H，
AG=y_A﹣y_M=2﹣（t²+t）=t²﹣t+2，BH=PN=．
當AG=BH時，四邊形ABPM為等腰梯形，
∴t²﹣t+2=，
化簡得3t²﹣8t+4=0，解得t₁=2（不合題意，舍去），t₂=，
∴點P的坐標為（，）
∴存在點P（，），使得四邊形ABPM為等腰梯形．
（3）如解答圖2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x軸于T，交OC于Q，A′O′交x軸于K，交OC于R．
求得過A、C的直線為y_AC=﹣x+3，可設點A′的橫坐標為a，則點A′（a，﹣a+3），

易知△OQT∽△OCD，可得QT=，OH=2RH
∴點Q的坐標為（a，）．
A′Q=﹣a+3﹣=（3﹣a）
∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，
∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，
過點R作RH⊥x軸于H，
∵tan∠OAB=tan∠KRH==2，
∴RH=2KH，OH=4RH=2a﹣2
∴HT=a-(2 a﹣2)=2-a
S_{四邊形RKTQ}=S_△A′KT﹣S_△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•HT
=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）
=a²+a﹣=（a﹣）²+
由于＜0，
∴在線段AC上存在點A′（，），能使重疊部分面積S取到最大值，最大值為．
點評：二次函數的綜合題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.