Question

【題目】己知：正方形．

如圖，點、點分別在邊和上，且．此時，線段、的數量關系和位置關系分別是什么？請直接寫出結論．

如圖，等腰直角三角形繞直角頂點順時針旋轉，當時，連接、，此時中的結論是否成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

如圖，等腰直角三角形繞直角頂點順時針旋轉，當時，連接、，猜想溝與滿足什么數量關系時，直線垂直平分．請直接寫出結論．

如圖，等腰直角三角形繞直角頂點順時針旋轉，當時，連接、、、得到四邊形，則順次連接四邊形各邊中點所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請直接寫出結論．

Answer 1

【答案】且；詳見解析；；正方形．

【解析】

（1）根據正方形的性質可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；
（2）根據旋轉角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DF，全等三角形對應角相等可得∠ABE=∠ADF，延長DF交BE于O，求出∠ABE+∠BGO=90°，從而得到∠BOD=90°，根據垂直的定義得到BE⊥DF；
（3）連接BD，直線DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，解答出即可；
（4）如圖4，通過證明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，結合（2）中結論，可得到各邊中點所組成的四邊形的形狀

(1)在正方形ABCD中,AB=AD,，

∵AE=AF，

∴ABAE=ADAF，

即BE=DF，

∵

∴BE⊥DF，

故答案為BE=DF，BE⊥DF；

(2)成立；

理由：如圖②，

∵△FAE是等腰直角三角形，

∴AE=AF，

在正方形ABCD中，AB=AD，

又∵∠BAE=∠DAF=α，

∴在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，

∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，

延長DF交BE于O，

∵,∠AGF=∠BGO(對頂角相等)，

∴

∴

∴BE⊥DF，

故BE=DF，BE⊥DF；

(3)如圖③，

連接BD，

∵直線DF垂直平分BE，

∴AD+AE=BD,

∴

故答案為

(4)如圖④，

連接BE、DF，

∵△FAE是等腰直角三角形，

∴AE=AF，

在正方形ABCD中，AB=AD，

又∵∠BAE=∠DAF=α，

∴在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，

∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，

設DF交BE于點P，

∵,∠DYA=∠BYP(對頂角相等)，

∴

∴BE⊥DF，

故BE=DF，BE⊥DF；

∴順次連接四邊形BDEF各邊中點所組成的四邊形是正方形.

故答案為:正方形.