Question

【題目】已知，關于x的一元二次方程x2+（1﹣k）x﹣k=0 （其中k為常數）．

（1）判斷方程根的情況并說明理由；

（2）若﹣1＜k＜0，設方程的兩根分別為m，n（m＜n），求它的兩個根m和n；

（3）在（2）的條件下，若直線y=kx﹣1與x軸交于點C，x軸上另兩點A（m，0）、點B（n，0），試說明是否存在k的值，使這三點中相鄰兩點之間的距離相等？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 方程有兩個實數根(2) m=k，n=﹣1(3)k=-

【解析】分析：（1）求出判別式的值即可判斷．

（2）求出方程的兩個根，根據題意即可解決問題．

（3）先求出A、B、C三點坐標，根據題意判斷A、B、C的位置，列出方程即可解決問題．

詳解：（1）∵△=（1﹣k）2+4k=k2﹣2k+1+4k=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程有兩個實數根．

（2）∵x2+（1﹣k）x﹣k=0，∴（x﹣k）（x+1）=0，∴x=k或﹣1．

∵﹣1＜k＜0，設方程的兩根分別為m，n（m＜n），∴m=k，n=﹣1．

（3）存在．由題意A（k，0），B（﹣1，0），C（，0）．

∵﹣1＜k＜0，∴﹣1＜k＜．

∵AC=AB，∴k﹣=1﹣k，整理得：2k2﹣k+1=0，解得：k=﹣或1（舍棄），

∴當k=﹣時，A、B、C三點中相鄰兩點之間的距離相等．