Question

如圖，一元二次方程x²+2x-3=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點C，B的橫坐標，且此拋物線過點A（3，6）．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點G，則P點坐標為______，G點坐標為______；
（3）在x軸上有一動點M，當MG+MA取得最小值時，求點M的坐標．

Answer 1

（1）解方程x²+2x-3=0
得x₁=-3，x₂=1．
∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為：C（-3，0），B（1，0），
設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1）．
∵A（3，6）在拋物線上，
∴6=a（3+3）•（3-1），
∴a=

1

2

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²+x-

3

2

．

（2）由y=

1

2

x²+x-

3

2

=

1

2

（x+1）²-2，
∴拋物線頂點P的坐標為（-1，-2），對稱軸方程為x=-1．
設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（3，6），C（-3，0）在該直線上，
∴

3k+b=6 -3k+b=0

解得

b=3 k=1

，
∴直線AC的解析式為：y=x+3．
將x=-1代入y=x+3
得y=2，
∴G點坐標為（-1，2）．

（3）作A關于x軸的對稱點A′（3，-6），
連接A′G，A′G與x軸交于點M即為所求的點．
設直線A′G的解析式為y=kx+b．
∴

3k+b=-6 -k+b=2

解得

b=0 k=-2

，
∴直線A′G的解析式為y=-2x，令x=0，則y=0．
∴M點坐標為（0，0）．