Question

如果拋物線y=-x²+2（m-1）x+m+1與x軸都交于A，B兩點，且A點在x軸的正半軸上，B點在x軸的負半軸上，OA的長是a，OB的長是b．
（1）求m的取值范圍；
（2）若a：b=3：1，求m的值，并寫出此時拋物線的解析式；
（3）設（2）中的拋物線與y軸交于點C，拋物線的頂點是M，問：拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積等于△BCM面積的8倍？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設A，B兩點的坐標分別是（x₁，0）、（x₂，0），
∵A，B兩點在原點的兩側，
∴x₁x₂＜0，即-（m+1）＜0，
解得m＞-1．
∵△=[2（m-1）]²-4×（-1）×（m+1）
=4m²-4m+8
=4×（m-

1

2

）²+7
當m＞-1時，△＞0，
∴m的取值范圍是m＞-1；

（2）∵a：b=3：1，設a=3k，b=k（k＞0），
則x₁=3k，x₂=-k，
∴

3k-k=2(m-1) 3k•(-k)=-(m+1)

，
解得m1=2，m2=

1

3

．
∵m=

1

3

時，x1+x2=-

4

3

（不合題意，舍去），
∴m=2，
∴拋物線的解析式是y=-x²+2x+3；

（3）易求拋物線y=-x²+2x+3與x軸的兩個交點坐標是A（3，0），B（-1，0）
與y軸交點坐標是C（0，3），頂點坐標是M（1，4）．
設直線BM的解析式為y=px+q，
則

4=p•1+q 0=p•(-1)+q

．
解得

p=2 q=2

．
∴直線BM的解析式是y=2x+2．

設直線BM與y軸交于N，則N點坐標是（0，2），

∴S_△BCM=S_△BCN+S_△MNC
=

1

2

×1×1+

1

2

×1×1
=1
設P點坐標是（x，y），
∵S_△ABP=8S_△BCM，
∴

1

2

×AB×|y|=8×1．
即

1

2

×4×|y|=8．
∴|y|=4．
∴y=±4．
當y=4時，P點與M點重合，即P（1，4），
當y=-4時，-4=-x²+2x+3，
解得x=1±2

2

．
∴滿足條件的P點存在．
P點坐標是（1，4），（1+2

2

，-4）（1-2

2

，-4）．