Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知OB=2，點A和點B關于N（0，-2）成中心對稱，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、O、B三點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若點P是x軸上的一動點，從點O出發沿射線OB方向運動，圓P半徑為

3 2

4

，速度為每秒1個單位，試求幾秒后圓P與直線AB相切；
（3）在此拋物線上，是否存在點P，使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設點A的坐標為（x，y）．
∵點A和點B（2，0）關于N（0，-2）成中心對稱，
∴N為線段AB的中點，
∴

x+2

2

=0，

y+0

2

=-2，
解得x=-2，y=-4，
∴點A的坐標為（-2，-4）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經過A、O、B三點，
∴

4a-2b+c=-4 c=0 4a+2b+c=0

，解得

a=- 1 2 b=1 c=0

，
∴拋物線的函數表達式為y=-

1

2

x²+x；

（2）如圖，設x秒后圓P與直線AB相切，則OP=x．分兩種情況：
①點P在點B左邊時，設圓P與直線AB切于點M，則∠BMP=90°，PM=

3 2

4

．
在△BMP與△BON中，

∠MBP=∠OBN ∠BMP=∠BON=90°

，
∴△BMP∽△BON，
∴

MP

ON

=

BP

BN

，即

3 2 4

2

=

2-x

2 2

，
解得x=

1

2

，
即

1

2

秒后圓P與直線AB相切；
②點P在點B右邊時，設圓P與直線AB切于點Q，則∠BQP=90°，PQ=

3 2

4

．
在△BQP與△BON中，

∠PBQ=∠NBO ∠BQP=∠BON=90°

，
∴△BQP∽△BON，
∴

PQ

ON

=

BP

BN

，即

3 2 4

2

=

x-2

2 2

，
解得x=

7

2

，
即

7

2

秒后圓P與直線AB相切；
綜上所述，

1

2

秒或

7

2

秒后圓P與直線AB相切；

（3）點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形時，分三種情況：
①當P₁與A點關于拋物線對稱軸對稱時，OB∥AP₁，AP₁BO為梯形，此時P₁（4，-4）；
②設存在點P₂，使OP₂∥AB．
設直線AB的解析式為y=kx+m，
∵A（-2，-4），B（2，0），
∴

-2k+b=-4 2k+b=0

，解得

k=1 b=-2

，
∴直線AB的解析式為y=x-2，
∴OP₂的解析式為y=x．
由

y=x y=- 1 2 x2+x

，解得

x=0 y=0

，
∴P₂（0，0），與原點O重合，不合題意，舍去；
③設存在點P₃，使BP₃∥OA．
設直線OA的解析式為y=nx，
∵A（-2，-4），
∴-2n=-4，解得n=2，
∴直線OA的解析式為y=2x，
∴BP₃的解析式為y=2x-4．
由

y=2x-4 y=- 1 2 x2+x

，解得

x=-4 y=-12

，
∴P₃（-4，-12），
綜上所述，存在點P（4，-4）或（-4，-12），使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形．