Question

【題目】（1）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，連接BE。

①∠AEB的度數(shù)為__________；

②線(xiàn)段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為__________；

（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線(xiàn)段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點(diǎn)P滿(mǎn)足PD=1，且∠BPD=90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A到BP的距離為________________________________。

Answer 1

【答案】（1）①60°，②AD=BE；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由見(jiàn)解析；（3）A到BP的距離為或.

【解析】

（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．
（3）由PD=1可得：點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．顯然，點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn)，由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，接下來(lái)需對(duì)兩個(gè)位置分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問(wèn)題．

解：（1）①如圖1，

∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
故答案為：60°．

②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案為：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如圖2，

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE。

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，

∴∠ADC=135°，

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=90°，

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME，

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM，

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）A到BP的距離為或．

理由如下：
∵PD=1，
∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上．
∵∠BPD=90°，
∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．
∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí)，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．
∴BD= ．
∵DP=1，
∴BP=．
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，
∴∠APB=∠ADB=45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線(xiàn)，AH⊥BP，
∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD．
∴=2AH+1．
∴AH=．

②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí)，
連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，如圖3②．
同理可得：BP=2AH-PD．
∴=2AH-1．
∴AH=．
綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為或．

故答案為：（1）①60°，②AD=BE；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由見(jiàn)解析；（3）A到BP的距離為或．