Question

【題目】如圖1，小紅將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形和三角形兩張紙片，測得AB=15，AD=12．在進行如下操作時遇到了下面的幾個問題，請你幫助解決．

（1）將△EFG的頂點G移到矩形的頂點B處，再將三角形繞點B順時針旋轉使E點落在CD邊上，此時，EF恰好經過點A（如圖2）求FB的長度；
（2）在（1）的條件下，小紅想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了兩種包裹的方法如圖3、圖4，請問哪種包裹紙片的方法使得未包裹住的面積大？（紙片厚度忽略不計）請你通過計算說服小紅．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BE=AB=15，

在直角△BCE中，

CE= = =9

∴DE=6，

∵∠EAD+∠BAE=90°，∠BAE=∠BEF，

∴∠EAD+∠BEF=90°，

∵∠BEF+∠F=90°，

∴∠EAD=∠F

∵∠ADE=∠FBE

∴△ADE∽△FBE，

∴ ，

，

∴BF=30

（2）

解：①如圖1，將矩形ABCD和直角△FBE以CD為軸翻折，則△AMH即為未包裹住的面積，

∵Rt△F′HN∽Rt△F′EG，

∴ = ，即 ，

解得：HN=3，

∴S△AMH= AMMH= ×12×24=144；

②如圖2，將矩形ABCD和Rt△ECF以AD為軸翻折，

∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，

∴ ，即 ，解得：GB′=24，

∴S△B′C′G= B′C′B′G= ×12×24=144，

∴按照兩種包裹方法的未包裹面積相等．

【解析】（1）先證明△ADE∽△FBE，利用相似的性質得BF；（2）①利用相似三角形的判定，證明Rt△F′HN∽Rt△F′EG，利用相似三角形的性質，求得HN，利用三角形的面積公式得結果；②利用相似三角形的判定，證明Rt△F′HN∽Rt△F′EG，利用相似三角形的性質，求得HN，利用三角形的面積公式得結果．