Question

【題目】如圖，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結論中一定成立的是 ( )

①2∠DCF=∠BCD； ②EF=CF； ③S△BEC=2S△CEF； ④∠DFE=3∠AEF．

A. ①②③④ B. ①②④ C. ①② D. ②③

Answer 1

【答案】B

【解析】①∵F是AD的中點，

∴AF=FD，

∵在ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴2∠DCF=∠BCD，故①正確；

延長EF，交CD延長線于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F為AD中點，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=EF，故②正確；

③∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC＜2S△EFC

故③錯誤；

④設∠FEC=x，則∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°-x，

∴∠EFC=180°-2x，

∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，

∵∠AEF=90°-x，

∴∠DFE=3∠AEF，故④正確，

故選B.