Question

5．如圖，在?ABCD中，BC=12cm，∠ABC=60°，AC⊥AB，O是AC的中點，點E，F分別從點O出發，沿射線OA和OC方向移動，速度都是每秒1cm．
（1）試說明在整個運動過程中，四邊形BEDF始終是平行四邊形；
（2）設點E和點F同時運動的時間為t，當t為何值時，四邊形BEDF是矩形？（直接寫出結果，不必說明理由）

Answer 1

分析 （1）連接BD．只要證明四邊形BEDF的對角線互相平分即可．
（2）解直角三角形求出BO的長，根據對角線相等的平行四邊形是矩形，列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：連接BD．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BD與AC互相平分，點O是BD與AC的交點，
∵OE=OF=t，OB=OD，
∴四邊形BEDF始終是平行四邊形．

（2）在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，BC=12，
∴∠ACB=30°，AB=$\frac{1}{2}$BC=6，AC=$\sqrt{3}$AB=6$\sqrt{3}$，
∴OA=OC=3$\sqrt{3}$，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
∵當EF=BD時，四邊形BEDF是矩形，
∴OE=OB，
∴t=3$\sqrt{7}$時，四邊形BEDF是矩形．

點評 本題考查矩形的判定和性質．平行四邊形的判定和性質、勾股定理、直角三角形30度角性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，屬于中考常考題型．