Question

3．問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求這個三角形的面積．佳佳同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處）．如圖①所示，這樣不需求△ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積．
（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上$\frac{7}{2}$；
（2）在圖②中畫△DEF，使DE、EF、DF三邊的長分別為$\sqrt{2}$、$\sqrt{8}$、$\sqrt{10}$，并判斷這個三角形的形狀，說明理由．

Answer 1

分析 （1）用一個矩形的面積分別減去三個三角形的面積可求出△ABC的面積；
（2）利用勾股定理和網格特點分別畫出△DEF，然后根據勾股定理的逆定理證明此三角形為直角三角形．

解答 解：（1）△ABC的面積=3×3-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{7}{2}$；
故答案為$\frac{7}{2}$；
（2）如圖2，△DEF為所作，
△DEF為直角三角形．理由如下：
∵DE=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{8}$，DF=$\sqrt{10}$，
∴DE²+EF²=DF²，
∴△DEF為直角三角形．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了勾股定理的逆定理．