Question

【題目】如圖，直線l1：分別與x軸、y軸交于A、B兩點，點C為x軸上任意一點，直線l2：經過點C，且與直線l1交于點D，與y軸交于點E，連結AE．

(1)當點C的坐標為時，①求直線l2的函數表達式；②求證：AE平分；

(2)問：是否存在點C，使是以CE為一腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)①；②答案見解析；（2）存在點C使是以CE為一腰的等腰三角形, 點C的坐標為(3,0)或(8,0).

【解析】

(1)①由點C的坐標，利用待定系數法即可求出b值，此題得解；

②利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A、E的坐標，利用勾股定理以及兩點間的距離即可求出AC=AB，由正切的定義即可得出∠ABO=∠ACD，結合公共角即可利用全等三角形的判定定理ASA證出△ABO≌△ACD，從而得出AO=AD、∠ADC=∠AOB=90°，再利用全等直角三角形的判定定理HL即可證出Rt△ADE≌Rt△AOE，根據全等三角形的性質可找出∠DAE=∠OAE，由此即可證出AE平分∠BAC；

（2）△ACE是以CE為一腰的等腰三角形分兩種情況：①CE=AE時，利用等腰三角形的性質結合點A的坐標即可得出點C的坐標；②當CA=CE時，設點C（m，0）（m>0），則OC=m，OE=OC=m，CA=m+2，利用勾股定理求出CE，由CA=CE即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出點C的坐標．綜上即可得出結論．

(1)①將C(2,0)代入y=，0=,解得： ，

∴直線l2的函數表達式為 .

②證明：當 時，x=3，

∴點A(3,0)，

∴ , ,AC=2(3)=5=AB.

∵當x=0時 ，

∴ ，

∴∠ABO=∠ACD.

在△ABO和△ACD中,

，

∴△ABO≌△ACD(ASA)，

∴ .

在Rt△ADE和Rt△AOE中,

，

∴Rt△ADE≌Rt△AOE(HL)，

∴∠DAE=∠OAE，

∴AE平分∠BAC.

(2)△ACE是以CE為一腰的等腰三角形分兩種情況：

①當AE=CE時，

∵EO⊥AC，

∴OC=OA，

∴點C(3,0)；

②當CA=CE時,設點C(m,0)(m>0),則 ，CA=m+2，

∴ ，

∴ ，

解得：m=8，

∴點C(8,0).

綜上所述：存在點C,使△ACE是以CE為一腰的等腰三角形,點C的坐標為(3,0)或(8,0).