Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點，過點D作DH⊥AC于點H．

（1）求證：BD＝CD；

（2）連結OD若四邊形AODE為菱形，BC＝8，求DH的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DH＝2．

【解析】

（1）連接AD，根據直徑所對的圓周角是直角，即可求出∠ADB＝90°，從而得出AD⊥BC，最后根據三線合一即可證出結論；

（2）連接OE，根據菱形的性質可得OA＝OE＝AE，從而證出△AOE是等邊三角形，從而得出∠A＝60°，然后根據等邊三角形的判定即可證出△ABC是等邊三角形，從而求出∠C，根據（1）的結論即可求出CD，最后根據銳角三角函數即可求出DH.

（1）證明：如圖，連接AD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD．

（2）解：如圖，連接OE．

∵四邊形AODE是菱形，

∴OA＝OE＝AE，

∴△AOE是等邊三角形，

∴∠A＝60°，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠C＝60°，

∵CD＝BD=，

∴DH＝CDsinC＝2．