Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交于點D，E，且∠CBD=∠A．

（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的長．

Answer 1

(1)見解析；（2）BD=.

試題分析：(1)要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心和這點(即為半徑),再證垂直即可;
(2)通過作輔助線,根據已知條件求出∠CBD的度數,在Rt△BCD中求解即可.
試題解析：
（1）直線BD與⊙O的位置關系是相切．
證明：連結OD，DE.
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
∵∠A=∠CBD，
∴∠A+∠CDB=90°．
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO．
∴∠ADO+∠CDB=90°．
∴∠ODB=180°-90°=90°．
∴OD⊥BD．
∵OD為半徑，
∴BD是⊙O切線．

（2）∵AD:AO=8:5，
∴=．
∴由勾股定理得AD:DE:AE=8:6:10．
∵∠C=90°，∠CBD=∠A.
∴△BCD∽△ADE．
∴DC:BC:BD=DE:AD:AE=6:8:10．
∵BC=3，
∴BD=．