Question

觀察下列分母有理化的計算：

1

2 +1

=

2

-1，

1

3 + 2

=

3

-

2

，

1

4 - 3

=

4

-

3

，

1

5 + 4

=

5

-

4

，…
在計算結果中找出規律，用含有字母n（n表示大于0的自然數）表示；再利用這一規律計算以下列式子的值：
（

1

2 + 1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2010 + 2009

）（

2010

+1）的值．

Answer 1

分析：把第一個括號內的數按規律化簡、合并后，再與第二個括號相乘．

解答：解：由題意得：

1

2 +1

+

1

3 + 2

+…+

1

n+1 + n

=

n+1

-1，
∴（

1

2 + 1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2010 + 2009

）（

2010

+1），
=（

2010

-1）（

2010

+1），
=2010-1
=2009；
即（

1

2 + 1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2010 + 2009

）（

2010

+1）的值是2009．

點評：本題考查了分母有理化．解題的關鍵是化簡第一個括號內的二次根式，正好留下第二項和倒數第二項，然后再用平方差公式計算．