Question

【題目】如圖，若內一點滿足，則稱點為的布羅卡爾點，三角形的布羅卡爾點是法國數學教育家克雷爾首次發現，后來被數學愛好者法國軍官布羅卡爾重新發現，并用他的名字命名，布羅卡爾點的再次發現，引發了研究“三角形幾何”的熱潮．已知中，，，為的布羅卡爾點，若，則________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作CH⊥AB于H．首先證明，再證明△PAB∽△PBC，可得，即可求出PA、PC.

解：作CH⊥AB于H．

∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，
∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，

∴BC=2CH,
∴AB=2BH=2= ，

∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，
∴∠PAB=∠PBC，
∴△PAB∽△PBC，

，

∵，

∴PA=，PC=,

∴PA+PC=，

故答案為：.