Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，點D是半圓的中點，連接CD交OB于點E，點F是AB延長線上一點，CF＝EF．

（1）求證：FC是⊙O的切線；

（2）若CF＝5，，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AO＝.

【解析】

（1）連接OD，利用點D是半圓的中點得出∠AOD與∠BOD是直角，之后通過等量代換進一步得出∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°從而證明結論即可；

（2）通過得出＝，再證明△ACF∽△CBF從而得出AF＝10，之后進一步求解即可.

證明：連接OD，

∵點D是半圓的中點，

∴∠AOD=∠BOD=90°.

∴∠ODC+∠OED=90°.

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD.

又∵CF=EF，

∴∠FCE=∠FEC.

∵∠FEC=∠OED，

∴∠FCE=∠OED.

∴∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°.

即FC⊥OC.

∴FC是⊙O的切線.

（2）∵tanA＝，

∴在Rt△ABC中，＝.

∵∠ACB＝∠OCF＝90°，

∴∠ACO＝∠BCF＝∠A.

∴△ACF∽△CBF，

∴＝＝＝.

∴AF＝10.

∴CF2＝BF·AF.

∴BF＝.

∴AO＝＝.